三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

■ヒント

$3$\cos {\theta}=c$ の解き方

■解説

$3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ の値は単位円上の点の $3$\displaystyle{x}$ 座標に相当する( ここを参照)．

まず，右図のように単位円を描く．このとき，原点を $3$\displaystyle{\text{O}}$ とする．

$3$\displaystyle{y}$ 軸と平行な線である $3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を $3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とし，原点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ と線で結ぶ．

$3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ から $3$\displaystyle{y}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を $3$\displaystyle{\text{R}}$ ， $3$\displaystyle{\text{S}}$ とし，直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OPR}}$ ，直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OQS}}$ の内角を求める．

$3$\displaystyle{\text{OP}=1}$ ， $3$\displaystyle{\text{PR}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$3$\displaystyle{\angle \text{POR}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OPR}}$ $3$\displaystyle{\equiv }$ 直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OQS}}$

より

$3$\displaystyle{\angle \text{QOS}=\angle \text{POR}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

よって， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\theta}}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\theta}}_{2} }$ を算出すと

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\theta}}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\theta}}_{2}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }$

となる．

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最終更新日： 2025年2月12日

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

■答

■ヒント

■解説

■問題