加法定理・合成関数に関する問題

■問題

次式を $3$\displaystyle{ r\sin $ {\theta}+\alpha $ }$ $3$\displaystyle{\left[{ r> 0,- {\pi}< \alpha ≦{\pi} }\right]}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の形に変形しなさい．

$3$\displaystyle{ \sqrt{2}\sin {\theta}- \sqrt{2}\cos {\theta} }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{2\sin \left({ {\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }\right)}$

■ヒント

(1)合成した時の係数 $3$\displaystyle{r}$ を求める．

(2)合成関数の公式を使い解を導きだす．

■解き方

$3$\displaystyle{ r=\sqrt{ { $ \sqrt{2} $ }^{2}+{ $ - \sqrt{2} $ }^{2} }=\sqrt{ 2+2 }=2 }$

より

$3$\displaystyle{ \sqrt{2}\sin {\theta}- \sqrt{2}\cos {\theta} }$ $3$\displaystyle{= 2 $ \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin {\theta}- \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos {\theta} $ }$ ･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成の公式より

$3$\displaystyle{ \sqrt{2}\sin {\theta}- \sqrt{2}\cos {\theta} }$ $3$\displaystyle{=2\sin \left({ {\theta}+\alpha }\right)}$ ･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

$3$\displaystyle{=2\sin \left({ {\theta}+\alpha }\right)}$ $3$\displaystyle{=2\left({ \sin {\theta}\cos \alpha +\cos {\theta}\sin \alpha }\right)}$ ･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

$3$\displaystyle{\left{{ \begin{array}{lll} \cos \alpha =\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}} & \vspace{6}\\ \sin \alpha =- \displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}} & \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる連立方程式が得られる．これを解くと(図参照)

$3$\displaystyle{\alpha =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

となる．したがって

$3$\displaystyle{ \sqrt{2}\sin {\theta}- \sqrt{2}\cos {\theta} }$ $3$\displaystyle{=2\sin \left({ {\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }\right)}$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に， $3$\displaystyle{ \sin }$ の係数 $3$\displaystyle{\sqrt{2}}$ を $3$\displaystyle{ x }$ 成分， $3$\displaystyle{ \cos }$ の係数 $3$\displaystyle{- \sqrt{2}}$ を $3$\displaystyle{ y }$ 成分とする点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ と原点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ を結ぶ線分 $3$\displaystyle{\text{OP}}$ を描く．線分 $3$\displaystyle{\text{OP}}$ の長さが $3$\displaystyle{r}$ ，線分 $3$\displaystyle{\text{OP}}$ と $3$\displaystyle{ x }$ 軸となす角が角度 $3$\displaystyle{ {\alpha} }$ となる．

よって

$3$\displaystyle{r=2}$ ， $3$\displaystyle{ {\alpha}=- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \sqrt{2}\sin {\theta}- \sqrt{2}\cos {\theta} }$ $3$\displaystyle{=2\sin \left({ {\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }\right)}$

となる．

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最終更新日： 2025年3月12日