三角関数の合成公式

■ sin（正弦）での合成

$3$a\sin {\theta}+b\cos {\theta}$ $3$=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin $ {\theta}+{\alpha} $$ 　･･････(1)

ただし， $3${\alpha}$ は $3$\sin$ の係数 $3$a$ を $3$x$ 成分， $3$\cos$ の係数 $3$b$ を $3$y$ 成分とする点 $3$\text{P}$ と原点 $3$\text{O}$ を結ぶ線分 $3$\text{OP}$ と $3$x$ 軸のなす角を一般角で表したものである．

$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin \left({ {\theta}+\alpha }\right)}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\left({ \sin {\theta}\cos \alpha +\cos {\theta}\sin \alpha }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos \alpha }\right)\sin {\theta}+\left({ \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin \alpha }\right)\cos {\theta}}$

(1)が成り立つとすると

$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos \alpha =a}$ ， $3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin \alpha =b}$

となる．いいかえると， $3$\alpha$ は

$3$\displaystyle{\sin \alpha =\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$ , $3$\displaystyle{\cos \alpha =\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$

を満たす．図はこの関係を示したものである．通常， $3$\displaystyle{- 180^\circ < \alpha \leq 180^\circ }$ とする．

⇒公式の導出，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

■ cos（余弦）での合成

$3$\displaystyle{a\sin {\theta}+b\cos {\theta}}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos $ {\theta}- {\beta} $ }$ 　･･････(2)

ただし， $3${\beta}$ は $3$\cos$ の係数 $3$b$ を $3$x$ 成分， $3$\sin$ の係数 $3$a$ を $3$y$ 成分とする点 $3$\text{Q}$ と原点 $3$\text{O}$ を結ぶ線分 $3$\text{OQ}$ と $3$x$ 軸のなす角を一般角で表したものである．

$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos \left({ {\theta}- {\beta} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\left({ \cos {\theta}\cos {\beta}+\sin {\theta}\sin \hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}{\beta} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos {\beta} }\right)\cos {\theta}+\left({ \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin {\beta} }\right)\sin {\theta}}$

(2)が成り立つとすると

$3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin {\beta}=a}$ ， $3$\displaystyle{\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos {\beta}=b}$

となる．いいかえると， $3${\beta}$ は

$3$\displaystyle{\sin {\beta}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\cos {\beta}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}}$

を満たす．図はこの関係を示したものである．通常， $3$\displaystyle{- 180^\circ < \alpha \leq 180^\circ }$ とする．

⇒公式の導出，ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

■解説動画

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■関連動画

■公式の導出

●sinでの合成：

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ ， $3$\displaystyle{ b> 0 }$ ， $3$\displaystyle{0< {\theta}< 90^\circ }$ の場合，図より合成公式が導かれる．

次に， $3$\displaystyle{a\neq 0}$ あるいは $3$\displaystyle{b\neq 0}$ において式を変形して合成の公式を導く．

$3$\displaystyle{ a\sin {\theta}+b\cos {\theta} }$

$3$\displaystyle{= \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\sin {\theta} }$ $3$\displaystyle{ +\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\cos {\theta} }$

$3$\displaystyle{= \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \left({ \sin {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ +\cos {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} }\right\) }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\cos {\alpha}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\sin {\alpha}}$ とおくと

$3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } $ \sin {\theta}\cos {\alpha}+\cos {\theta}\sin {\alpha} $ }$

$3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin $ {\theta}+{\alpha} $ }$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 加法定理より）

【参考】 $3$\displaystyle{\sin \left({ 180^\circ - \left({ {\theta}+\alpha }\right) }\right)=\sin \left({ {\theta}+\alpha }\right)}$

$三角関数の合成$

●cosでの合成：

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ ， $3$\displaystyle{ b> 0 }$ ， $3$\displaystyle{0< {\theta}< 90^\circ }$ の場合，図より合成公式が導かれる．

次に， $3$\displaystyle{a\neq 0}$ あるいは $3$\displaystyle{b\neq 0}$ において式を変形して合成の公式を導く．

$3$\displaystyle{ a\sin {\theta}+b\cos {\theta} }$ $3$\displaystyle{= b\cos {\theta}+a\sin {\theta} }$

$3$\displaystyle{= \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\cos {\theta} }$ $3$\displaystyle{ +\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}\sin {\theta} }$

$3$\displaystyle{= \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \left({ \cos {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ +\sin {\theta}\cdot \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} }\right\) }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\cos {\beta}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}=\sin {\beta}}$ とおくと

$3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } $ \cos {\theta}\cos {\beta}+\sin {\theta}\sin {\beta} $ }$

$3$\displaystyle{=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos $ {\theta}-{\beta} $ }$ 　（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 加法定理より）

　 $三角関数の合成$

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最終更新日： 2025年6月30日