ベクトルを用いた三角関数の合成公式の導出

$3$a\sin {\theta}+b\cos {\theta}=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin $ {\theta}+{\alpha} $$

$3$\displaystyle{a\sin {\theta}+b\cos {\theta}=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos $ {\theta}- {\beta} $ }$

■証明

図のように $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ を定める．ただし， $3$\displaystyle{ \left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|=a }$ ， $3$\displaystyle{ \left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|=b }$ とする．

各ベクトルを成分表示すると

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ a\cos {\theta},a\sin {\theta} $ }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ - b\sin {\theta},b\cos {\theta} $ }$ ･･････(2)

である．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }$ の終点をそれぞれ $3$\displaystyle{\text{A}}$ 点， $3$\displaystyle{\text{B}}$ 点， $3$\displaystyle{\text{C}}$ 点とする．

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ と $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ のなす角は $3$\displaystyle{ { 90 }^{^\circ } }$ であるので， $3$\displaystyle{ \triangle \text{OAC} }$ は直角三角形である．よって， $3$\displaystyle{ \| {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } \| }$ 　は

三平方の定理より　

$3$\displaystyle{ \| {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } \| =\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } }$ 　

となる． $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸のなす角は $3$\displaystyle{ {\theta}+\alpha }$ である．よって $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }$ を成分表示すると　

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+ {b}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ =\left({ \sqrt{ {a}^{2}+ {b}^{2} }\cos $ {\theta}+ \alpha $ , }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \sqrt{ {a}^{2}+ {b}^{2} }\sin $ {\theta}+ \alpha $ }\right\) }$ 　･･････(3)

となる．また， $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{y}$ 軸のなす角は $3$\displaystyle{ {\theta}- {\beta} }$ である．よって $3$\displaystyle{ {\theta}- {\beta} }$ を使って　

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+{b}\limits^{\rightarrow } }$ を成分表示すると

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+ {b}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ =\left({ - \sqrt{ {a}^{2}+ {b}^{2} }\sin $ {\theta}- {\beta} $ , }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \sqrt{ {a}^{2}+ {b}^{2} }\cos $ {\theta}- {\beta} $ }\right\) }$ ･･････(4)

となる．

一方，(1)，(2)より

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }+ {b}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ a\cos {\theta},a\sin {\theta} $ }$ $3$\displaystyle{ + $ - b\sin {\theta},b\cos {\theta} $ }$ $3$\displaystyle{ =\left({ a\cos {\theta}- b\sin {\theta}, }$ $3$\displaystyle{ \left.{ a\sin {\theta}+ b\cos {\theta} }\right\) }$ ･･････(5)

となる．(3)，(4)，(5)の成分は等しい．よって

$3$\displaystyle{ a\sin {\theta}+b\cos {\theta}=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\sin $ {\theta}+\alpha $ }$

$3$\displaystyle{ a\sin {\theta}+b\cos {\theta}=\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }\cos $ {\theta}- {\beta} $ }$

ただし， $3$\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \tan {\beta}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }$

が得られる．

■インターラクティブなグラフ

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最終更新日： 2024年9月8日