加法定理の問題

■問題

$3$\displaystyle{ \cos {\alpha}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 5 \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \sin {\beta}=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} }$ のとき， $3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ }$ ， $3$\displaystyle{ \tan $ {\alpha}+{\beta} $ }$ の値を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{ 0< {\alpha} \text{,}\text{ } {\beta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
とする．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ =\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 65 \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \tan $ {\alpha}+{\beta} $ =\frac{\hspace{2} 63 \hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{\cos \alpha }$ の値よりに $3$\displaystyle{ \sin \alpha }$ の値を， $3$\displaystyle{\sin {\beta}}$ の値より $3$\displaystyle{ \cos {\beta} }$ の値を算出する．また，加法定理を利用する．

■解き方

$3$\displaystyle{ 0< {\alpha} \text{,} {\beta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ のとき， $3$\displaystyle{ \sin {\alpha}> 0 }$ ， $3$\displaystyle{ \cos {\beta}> 0 }$ であるから

$3$\displaystyle{\cos {\alpha}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{ \sin {\alpha}=\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\alpha} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ 1- { $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{2} } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$ ･･････(1) 　， $3$\displaystyle{ \tan {\alpha}=\frac{\hspace{2} \sin {\alpha} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\alpha} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{ \sin {\beta}=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} }$ より

$3$\displaystyle{ \cos {\beta}=\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\alpha} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ 1- { $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ }^{2} } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} }$ ･･････(3)　， $3$\displaystyle{ \tan {\beta}=\frac{\hspace{2} \sin {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\beta} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} }$ ･･････(4)

余弦（コサイン）の加法定理を利用し，(1)と(3)を代入すると

$3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}+{\beta} $ }$ $3$\displaystyle{ =\cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\times \frac{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\times \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 36 \hspace{2}}{\hspace{2} 65 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 20 \hspace{2}}{\hspace{2} 65 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 65 \hspace{2}} }$

正接（タンジェント）の加法定理を利用し，(2)と(4)を代入すると

$3$\displaystyle{ \tan $ \alpha +{\beta} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \tan \alpha +\tan {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \tan \alpha \tan {\beta} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}+\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \displaystyle{\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}\times \displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2} 21 \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 63 \hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年5月30日