三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}> \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

まず， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ の範囲で

$3$\displaystyle{ \sin {\theta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

を満たす $3$\displaystyle{{\theta}}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

$1$ $3$\displaystyle{\sin {\theta}}$ は単位円上の点の $3$\displaystyle{y}$ 成分に相当することを考慮して，与式の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が答えとなる．よって，答えは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

最終更新日： 2025年2月5日