三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}≦{\theta}≦\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
とする．

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}≦\sin {\theta}≦\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
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■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

■解説

まず， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ の範囲で

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

を満たす $3$\displaystyle{{\theta}}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　⇒ 解

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}11\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　⇒ 解

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

$1$ $3$\displaystyle{\sin {\theta}}$ は単位円上の点の $3$\displaystyle{x}$ 成分に相当することを考慮して，与式の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}≦{\theta}≦\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi} }$
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と赤色の円弧の部分が重なっている部分が答えとなる．よって，答えは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

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最終更新日： 2025年2月17日