三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{- 1< \tan $ {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ \leq \sqrt{3}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{0≦{\theta}≦\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}< {\theta}≦\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 23 \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}< {\theta}< 2{\pi}}$

■解説

$3$\displaystyle{{\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}=t}$ ･･････(1)

とおくと

$3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$

$3$\displaystyle{0- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\leq {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}< 2{\pi}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

より

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\leq t< \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

問題を $3$\displaystyle{t}$ を使って書き直すと

次の不等式を解け．ただし， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\leq t< \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{- 1< \tan t\leq \sqrt{3}}$

まず， $3$\displaystyle{0\leq t< 2{\pi}}$ の範囲で

$3$\displaystyle{\tan t=- 1}$ ， $3$\displaystyle{\tan t=\sqrt{3}}$

を満たす $3$\displaystyle{t}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=- 1}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\sqrt{3}}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

$1$ $3$\displaystyle{\tan t}$ は単位円に引いた補助線 $3$\displaystyle{x=1}$ の直線上の点の $3$\displaystyle{y}$ 成分に相当することを考慮して， $3$\displaystyle{t}$ を用いて書き直した不等式 $3$\displaystyle{- 1< \tan t\leq \sqrt{3}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\leq t< \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が $3$\displaystyle{t}$ を用いて書き直した問題答えとなる．その答えは

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}≦t≦\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}< t≦\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}< t< \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を $3$\displaystyle{{\theta}}$ の範囲に書き換えると

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}≦{\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}≦\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　→　 $3$\displaystyle{0≦{\theta}≦\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}< {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}≦\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　→　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}< {\theta}≦\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}< {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}< \frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$ 　→　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 23 \hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}< {\theta}< 2{\pi}}$

となる．

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最終更新日： 2025年2月20日