三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0≦{\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
とする．

$3$\displaystyle{0< \sqrt{2}\cos 3\left({ {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)< 1}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

■解説

$3$\displaystyle{3 $ {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ =t}$ ･･････(1)

とおくと

$3$\displaystyle{0\leq {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\leq {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{- {\pi}\leq 3 $ {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ < \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

より

$3$\displaystyle{- {\pi}≦t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

となる．

問題を $3$\displaystyle{t}$ を使って書き直すと

次の不等式を解け．ただし， $3$\displaystyle{- {\pi}≦t< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
とする．

$3$\displaystyle{0< \sqrt{2}\cos t< 1}$ → $3$\displaystyle{0< \cos t< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

まず， $3$\displaystyle{0\leq t< 2{\pi}}$ の範囲で

$3$\cos t=0$ ， $3$\displaystyle{\cos t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

を満たす $3$\displaystyle{t}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=0}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< 2{\pi}}$ とする．

$3$\displaystyle{\cos t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

$1$ $3$\displaystyle{\cos t}$ は単位円上の点の $3$\displaystyle{x}$ 成分に相当することを考慮して， $3$\displaystyle{t}$ を用いて書き直した不等式 $3$\displaystyle{0< \cos t< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}≦t< \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
と赤色の円弧の部分が重なっている部分が $3$\displaystyle{t}$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< t< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}< t< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を $3$\displaystyle{{\theta}}$ の範囲に書き換えると

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< t< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$ より

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< 3\left({ {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}< {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< {\theta}< - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}< t< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}< 3\left({ {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}< {\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

整理すると

となる．

ホーム >> カテゴリー別分類 >> 三角関数 >> 三角関数の問題 >> 三角関数の不等式の問題 >> 三角関数の不等式の問題

最終更新日： 2025年2月20日