三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

$3$\displaystyle{2\sin \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {\theta}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ =1}$ $3$\displaystyle{ \[ 0\leq {\theta}< 2{\pi} \] }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 6 \hspace{2}}{\pi}}$

■ヒント

$3$\sin {\theta}=c$ の解き方

■解説

$1$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {\theta}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ =\alpha }$ ･･････(1)

とおくと，与式は

$3$\displaystyle{2\sin \alpha =1}$

$3$\displaystyle{\sin \alpha =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と $3$\displaystyle{{\theta}}$ の範囲から， $3$\displaystyle{\alpha }$ の範囲を求める．

$3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq {\theta}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {\theta}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ < \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }$

よって， $3$\displaystyle{{\alpha}}$ の範囲は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\leq \alpha < \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }$ ･･････(3)

となる．

(2)を満たす $3$\displaystyle{\alpha }$ を求める(図の $3$\displaystyle{\hspace{1}{\alpha }_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\alpha }_{2}}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\alpha }_{1}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}},\hspace{1}{\alpha }_{2}=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

(3)より $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\alpha}}_{1}}$ は範囲外であり，(1)より $3$\displaystyle{{\theta}=2\alpha - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ なので，求める角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ は

$3$\displaystyle{{\theta}=2\times \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

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最終更新日： 2025年4月18日