三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{2{\sin }^{2}{\theta}- \sin {\theta}- 1=0}$

■答

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

■解説

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=t}$ とおくと与式は次のようになる．

$3$\displaystyle{2{t}^{2}- t- 1=0}$ ･･････(1)

これを因数分解すると次のようになる．

$3$\displaystyle{ $ 2t+1 $ $t- 1$=0}$ ･･････(2)

(2)の方程式の解は

$3$\displaystyle{2t+1=0}$ ， $3$\displaystyle{t- 1=0}$

より

$3$\displaystyle{t=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},1}$

$3$\displaystyle{t}$ を元に戻すと

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=1}$ ⇒ 解

この2つの方程式の解を求める．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=1}$ のとき

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

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最終更新日： 2025年3月1日

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

■答

■解説

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