不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}}dx }$ 　　

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan 2x+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int { \sec }^{2}x dx=\tan x+C }$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}={ \sec }^{2}x }$ 　より

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}} dx=\int { \sec }^{2}2x dx }$

となる．

$3$\displaystyle{ =\int { \sec }^{2}2x dx }$ 　　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan 2x+C }$ 　　

(ヒントの公式にあてはめた）

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan 2x+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}2x \hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日