不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int x\sqrt{ x+1 } }dx }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} $ 3x- 2 $$ x+1 $ \sqrt{ x+1 }+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■解説

$3$\displaystyle{ x+1=t }$ とおく(置換積分)．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1 }$ 　→　 $3$\displaystyle{ dx=dt }$

$3$\displaystyle{ x=t- 1 }$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ t- 1 $ \sqrt{t}dt } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ {t}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- {t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ dt } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{t}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}}{t}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ 3t- 5 $ +C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} $ x+1 $ \sqrt{ x+1 } $ 3x- 2 $ +C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} $ 3x- 2 $$ x+1 $ \sqrt{ x+1 }+C }$

（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日