不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．ただし， $3$a$ ， $3$b$ ， $3$c$ は定数である

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ a{x}^{3}- b{x}^{2}+c $ dx } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+cx+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ a{x}^{3}- b{x}^{2}+c $ dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{x}^{ 3+1 }- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{x}^{ 2+1 }+cx+C }$

(ヒントの式(1)を参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+cx+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+cx+C }$ 　を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ a{x}^{3}- b{x}^{2}+c }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日