不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 4{x}^{5}- 2{x}^{4}+{x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }dx }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 4{x}^{5}- 2{x}^{4}+{x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx } }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ 4{x}^{4}- 2{x}^{3}+{x}^{2} $ dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4+1 \hspace{2}}\cdot 4{x}^{ 4+1 }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}\cdot 2{x}^{ 3+1 } }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{x}^{ 2+1 }+C }$

(ヒントの公式(1)を参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 4{x}^{5}- 2{x}^{4}+{x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月6日