不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {x}^{2}- 81 \hspace{2}}{\hspace{2} x+9 \hspace{2}}dx } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 9x+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ 　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} {x}^{2}- 81 \hspace{2}}{\hspace{2} x+9 \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {x}^{2}- 81 \hspace{2}}{\hspace{2} x+9 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} $ x+9 $ $ x- 9 $ \hspace{2}}{\hspace{2} x+9 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =x- 9 }$ より

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ x- 9 $ dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+1 \hspace{2}}{x}^{ 1+1 }- 9x+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

(ヒントの公式(1)を参照 )

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 9x+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 9x+C }$ を微分し，積分前の式　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {x}^{2}- 81 \hspace{2}}{\hspace{2} x+9 \hspace{2}} }$ 　に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2024年10月7日