置換積分

■問題

次の計算をせよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {e}^{ \cos x }\sin x }dx }$

$3$\displaystyle{- {e}^{ \cos x }+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

$3$\displaystyle{\cos x=t}$ とおき， $3$\displaystyle{t}$ の式に変換して求める．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {e}^{ \cos x }\sin x }dx }$ 　　　･･････(1)

$3$\displaystyle{\cos x=t}$ とおく．（置換積分法）

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると，

$3$\displaystyle{ - \sin x=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{- \sin xdx=dt}$

$3$\displaystyle{dx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}dt}$

$3$\displaystyle{\cos x=t}$ ， $3$\displaystyle{dx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}dt}$ を(1)の式に代入して，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{t}\cdot $ - dt $ }}$ $3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int {e}^{t} }dt}$ $3$\displaystyle{=- {e}^{t}+C}$

置換していた $3$\displaystyle{t}$ を元に戻して，

$3$\displaystyle{- {e}^{ \cos x }+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

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最終更新日：2023年11月14日