定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- 4{x}^{2} } \hspace{2}} }dx}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\sin }^{ - 1 }$2x$+C}$ ( $3$C$ は積分定数)

■ヒント

以下の積分の公式を用いる．参照はこちら

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}} }dx={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+C}$ $3$\displaystyle{$a> 0$}$

■解説

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- 4{x}^{2} } \hspace{2}} }dx}$ を公式の形にすると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {1}^{2}- { $2x$ }^{2} } \hspace{2}} }dx}$ となる．

よって，

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {1}^{2}- { $2x$ }^{2} } \hspace{2}} }dx}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\sin }^{ - 1 } $ \frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}} $ +C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\sin }^{ - 1 }$2x$+C}$ ( $3$C$ は積分定数)

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最終更新日： 2023年11月23日