部分積分法を用いた不定積分

■問題

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int x\log 3xdx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log 3x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法を用いる.

■解説

部分積分法の公式は $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int f$x${g}^{\prime }$x$dx=f$x$g$x$ }}$ $3$- \displaystyle{ \int {f}^{\prime }$x$g$x$dx }$

$3$\displaystyle{f$x$=\log 3x}$

$3$\displaystyle{{g}^{\prime }$x$=x}$

に当てはめると，

$3$\displaystyle{g$x$=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}}$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }$x$=3\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

よって，

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int x\log 3xdx } }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\cdot \log 3x- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}dx}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log 3x- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log 3x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

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最終更新日： 2025年8月21日