置換積分

■問題

次の計算をせよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} { \sec }^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} { \tan }^{3}x \hspace{2}} }dx}$

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{ \tan }^{2}x \hspace{2}}+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおき， $3$\displaystyle{t}$ の式に変換して求める．

■解説

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} { \sec }^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} { \tan }^{3}x \hspace{2}} }dx}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおく．（置換積分法）

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx=dt}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}=\sec x}$ より，　（ $3$\displaystyle{\sec x}$ は， $3$\displaystyle{\cos x}$ の逆数である．読みは「セカント」．）

$3$\displaystyle{{\sec }^{2}xdx=dt}$

$3$\displaystyle{\tan x=t}$ ， $3$\displaystyle{{\sec }^{2}xdx=dt}$ を(1)の式に代入すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{3} \hspace{2}}dt }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {t}^{ - 3 }dt }}$

$3$\displaystyle{\hspace{10} \hspace{10} =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {t}^{ - 2 }+C}$

$3$\displaystyle{\hspace{10} \hspace{10} =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{t}^{2} \hspace{2}}+C}$

置換していた $3$\displaystyle{t}$ を元に戻して，

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{ \tan }^{2}x \hspace{2}}+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

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最終更新日：2025年3月6日