基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{x}=8}$

$3$\displaystyle{x=- 3}$

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{=8}$

$3$\displaystyle{{2}^{ - x }}$ $3$\displaystyle{={2}^{3}}$

$3$\displaystyle{- x}$ $3$\displaystyle{=3}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=- 3\hspace{5}}$

与式を見ると，左辺，右辺ともに底が $3$2$ である指数を用いた表現に変更することができる．

まずは左辺を変更する．指数法則を用いると

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{x}={ $ {2}^{ - 1 } $ }^{x}={2}^{ - x }}$

となる．次に右辺を変更する．

$3$\displaystyle{8=2\times 2\times 2={2}^{3}}$

即ち与式は

$3$\displaystyle{{2}^{ - x }={2}^{3}}$

と式変形できた．

上の式の右辺と左辺は等しい．なおかつ，底は $3$2$ で統一されているので

指数の値も等しい．つまり

$3$\displaystyle{- x=3}$

が成り立つ．

よって，求める $3$x$ の値は

$3$\displaystyle{x=- 3}$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日