基本的な指数不等式の問題

■問題

$3$\displaystyle{{ $ 0.5 $ }^{x}> 0.25}$

■答

$3$\displaystyle{x< 2}$

■計算

$3$\displaystyle{{ $ 0.5 $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> 0.25}$

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ $ {2}^{ - 1 } $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> {4}^{ - 1 }}$

$3$\displaystyle{ {2}^{ - 1\cdot x } }$ $3$\displaystyle{> { $ {2}^{2} $ }^{ - 1 }}$

$3$\displaystyle{{2}^{ - x }}$ $3$\displaystyle{> {2}^{ - 2 }}$

底が $3$2$ ( $3$> 1$ )より

$3$\displaystyle{- x}$ $3$\displaystyle{> - 2}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{< 2}$

●別解

$3$\displaystyle{{ $ 0.5 $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> 0.25}$

$3$\displaystyle{{ $ 0.5 $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> { $ 0.5 $ }^{2}}$

底が $3$0.5$ ( $3$0< 0.5< 1$ )より

$3$\displaystyle{x< 2}$

■解説

両辺を $3$\displaystyle{{a}^{r}}$ の形に式変形する．

$3$\displaystyle{{ $ 0.5 $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> 0.25}$

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}} $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> \frac{\hspace{2} 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 100 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} 1\times 5 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\times 5 \hspace{2}} $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> \frac{\hspace{2} 1\times 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 4\times 25 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{ $ {2}^{ - 1 } $ }^{x}}$ $3$\displaystyle{> {4}^{ - 1 }}$

$3$\displaystyle{ {2}^{ - 1\cdot x } }$ $3$\displaystyle{> { $ {2}^{2} $ }^{ - 1 }}$ 　　指数法則より

$3$\displaystyle{{2}^{ - x }}$ $3$\displaystyle{> {2}^{ - 2 }}$

与式は底が $3$2$ の指数を用いた数に統一された．

底が $3$2$ の指数関数は底が $3$1$ より大きいので，グラフは単調増加である．(ここを参照)