最上位数を求める問題

■問題

$3$\displaystyle{{3}^{ 50 }}$ の最上位の数を求めよ．ただし，下の常用対数の値を用いてよい．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }1=0}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }6=0.7782}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }2=0.3010}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }7=0.8451}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }3=0.4771}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }8=0.9031}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }4=0.6021}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }9=0.9542}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }5=0.6990}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }10=1}$

■答

$3$\displaystyle{{3}^{ 50 }}$ の最上位の数は $3$7$ である．

■計算

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }{3}^{ 50 }}$ $3$\displaystyle{=50\hspace{1}{\log }_{ 10 }3}$ $3$\displaystyle{=50\times 0.4771}$ $3$\displaystyle{=23.855}$ $3$\displaystyle{=23.855\hspace{1}{\log }_{ 10 }10}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{ 10 }{10}^{ 23.855 }}$

$3$\displaystyle{{3}^{ 50 }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ 23.855 }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ 0.855 }\times {10}^{ 23 }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }{10}^{ 0.855 }}$ $3$\displaystyle{=0.855\hspace{1}{\log }_{ 10 }10}$ $3$\displaystyle{=0.855}$

$3$\displaystyle{0.8451}$ $3$\displaystyle{< 0.855< }$ $3$\displaystyle{0.9031}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }7}$ $3$\displaystyle{< 0.855< }$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }8}$

即ち， $3$\displaystyle{{3}^{ 50 }}$ の最上位の数は $3$7$ である．

■解説

この問題は $3$3$ を $3$50$ 回乗じて，数を求めることで答を得ることは難しい．

そこで条件( $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }3=0.4771}$ )を上手に利用する．

$3$\displaystyle{{3}^{ 50 }}$ を底を $3$3$ から $3$10$ に変換するすることにより求める．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }{3}^{ 50 }}$ $3$\displaystyle{=50\hspace{1}{\log }_{ 10 }3}$ ( $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{ \log }_{a}R }$ の公式を使う．)

$3$\displaystyle{=50\times 0.4771}$ ( $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }3=0.4771}$ より)

$3$\displaystyle{=23.855}$

次に，真数を底が $3$10$ の指数を用いた数に変換する．

$3$\displaystyle{=23.855\hspace{1}{\log }_{ 10 }10}$ ( $3$\displaystyle{1=\hspace{1}{\log }_{a}a}$ より)

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{ 10 }{10}^{ 23.855 }}$ ( $3$\displaystyle{ t\hspace{1}{ \log }_{a}R=\hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t} }$ の公式を使う．)

この式変形により

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{ 10 }{3}^{ 50 }=\hspace{1}{ \log }_{ 10 }{ 10 }^{ 23.855 } }$

が得られた．底が $3$\displaystyle{ 10 }$ で一致しているので，真数同士が等しい．

$3$\displaystyle{{3}^{ 50 }={10}^{ 23.855 }}$

上の式を次のように変形する．

$3$\displaystyle{{3}^{ 50 }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ 23.855 }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ 0.855 }\times {10}^{ 23 }}$

最上位の数を決めるのは $3$\displaystyle{{10}^{ 0.855 }}$ である．これを再度，式変形する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }{10}^{ 0.855 }}$ $3$\displaystyle{=0.855\hspace{1}{\log }_{ 10 }10}$ $3$\displaystyle{=0.855}$ 　･･････(1)

これを問題文で提示された常用対数の値と比較すると次の関係が成り立つ．

$3$\displaystyle{0.8451}$ $3$\displaystyle{< 0.855< }$ $3$\displaystyle{0.9031}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }7}$ $3$\displaystyle{< 0.855< }$ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }8}$

(1)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }7< \hspace{1}{\log }_{ 10 }{10}^{ 0.855 }< \hspace{1}{\log }_{ 10 }8}$

各辺の対数の底が $3$\displaystyle{ 10 }$ で一致し対数の底の値 $3$\displaystyle{ 10 }$ は1より大きいので，対数の大小関係が真数の大小関係と一致する．

$3$\displaystyle{7< {10}^{ 0.855 }< 8}$

ゆえに， $3$\displaystyle{{3}^{ 50 }}$ の最上位の数の値は $3$7$ である．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日