基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2}9+\hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 2\hspace{1}{ \log }_{2}5+\hspace{1}{ \log }_{2}125 \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \hspace{1}{ \log }_{2}10 \hspace{2}}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}3- 5}$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■解説

ここで，与式の $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{2}9+\hspace{1}{ \log }_{2}3 }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{2}25+\hspace{1}{ \log }_{2}125 }$ , $3$\displaystyle{ 1- \hspace{1}{ \log }_{2}10 }$ を対数計算の基本を用いて式を簡単にする．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}9+\hspace{1}{\log }_{2}3}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{3}^{2}+\hspace{1}{\log }_{2}3}$ $3$\displaystyle{=2\hspace{1}{\log }_{2}3+\hspace{1}{\log }_{2}3}$ $3$\displaystyle{=3\hspace{1}{\log }_{2}3}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{2}25+\hspace{1}{ \log }_{2}125 }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{5}^{2}+\hspace{1}{\log }_{2}{5}^{3}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{5}^{5}}$ $3$\displaystyle{=5\hspace{1}{\log }_{2}5}$

$3$\displaystyle{ 1- \hspace{1}{ \log }_{2}10 }$ $3$\displaystyle{=1- $ \hspace{1}{ \log }_{2}2+\hspace{1}{ \log }_{2}5 $ }$ $3$\displaystyle{=1- 1- \hspace{1}{\log }_{2}5}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{\log }_{2}5}$

よって

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3\hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 5\hspace{1}{ \log }_{2}5 \hspace{2}}{\hspace{2} - \hspace{1}{ \log }_{2}5 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}3- 5}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日