指数を用いて表現された数の桁数に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ }^{ 75 } }$ は小数第何位に初めて $3$0$ でない数字が現れるか．また，その $3$0$ でない数字を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }2=0.301}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }3=0.477}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }7=0.845}$ とする．

■解説動画

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■答

小数第 $3$59$ 桁に初めて $3$0$ でない数字が現れる．その $3$0$ でない数字は $3$4$ となる

■解説

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{ 10 }{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ }^{ 75 }=- 75\log 6 }$ $3$\displaystyle{ =- 75\times 0.7782 }$ $3$\displaystyle{ =- 58.365 }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ { \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }\right) }^{ 75 }={ 10 }^{ - 58.365 } }$ $3$\displaystyle{ ={ 10 }^{ - 59+0.635 } }$ $3$\displaystyle{ ={ 10 }^{ 0.635 }\times { 10 }^{ - 59 } }$

備考：

$3$\displaystyle{0\leq a< 1}$ ならば， $3$\displaystyle{{10}^{a}}$ は

$3$\displaystyle{1={10}^{0}\leq {10}^{a}< {10}^{1}=10}$

となり， $3$\displaystyle{{10}^{a}}$ の整数部分は， $3$1$ から $3$9$ の自然数のいずれかになる．

$3$\displaystyle{{10}^{ - 59 }< {10}^{ 0.635 }\times {10}^{ - 59 }< {10}^{ - 58 }}$

の関係が得られる．よって，小数第 $3$59$ 位に初めて $3$0$ でない数字が現れる．

備考：

$3$\displaystyle{{10}^{ - 1 }=0.1}$ となり，少数第 $3$1$ 位が $3$1$ になる．

$3$\displaystyle{{10}^{ - 2 }=0.01}$ となり，少数第 $3$2$ 位が $3$1$ になる．

この傾向から $3$\displaystyle{{10}^{ - 59 }}$ は，少数第 $3$59$ 位に始めて $3$0$ でない数字 $3$1$ が現れる．

となる．また

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{ 10 }3=0.477< 0.635=\hspace{1}{ \log }_{ 10 }{ 10 }^{ 0.635 }< 0.845=\hspace{1}{ \log }_{ 10 }7 }$

よって

$3$\displaystyle{3< {10}^{ 0.635 }< 7}$

となり， $3$0$ でない数字は， $3$4$ ， $3$5$ ， $3$6$ のいずれかである．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }4=\hspace{1}{\log }_{ 10 }\left({ 2\times 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{ 10 }2+\hspace{1}{\log }_{ 10 }2}$ $3$\displaystyle{=0.301+0.301}$ $3$\displaystyle{=0.602}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }5=\hspace{1}{\log }_{ 10 }\frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{ 10 }10- \hspace{1}{\log }_{ 10 }2}$ $3$\displaystyle{=1- 0.301}$ $3$\displaystyle{=0.699}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }6=\hspace{1}{\log }_{ 10 }\left({ 3\times 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{ 10 }3+\hspace{1}{\log }_{ 10 }2}$ $3$\displaystyle{=0.477+0.301}$ $3$\displaystyle{=0.778}$

上記計算は対数の基本を参考する．

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }4< 0.635< \hspace{1}{\log }_{ 10 }5}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }4< \hspace{1}{\log }_{ 10 }{10}^{ 0.635 }< \hspace{1}{\log }_{ 10 }5}$

$3$\displaystyle{4< {10}^{ 0.635 }< 5}$

となる．よって， $3$\displaystyle{{10}^{ 0.635 }}$ の整数部分は $3$4$ となる．したがって，初めて $3$0$ でない数字は $3$4$ である．

以上，まとめると，初めて $3$0$ でない数字が現れるのは小数第 $3$59$ 位で，初めて $3$0$ でない数字は $3$4$ である．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日