基本的な対数の式変換

■問題

次の等式が成立することを示せ．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}b=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}a \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}b}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}b \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}a \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}a \hspace{2}}}$

■解説

底を変更するために底の変換公式を用いる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}b=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}b \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a}b \hspace{2}} }$

対数の基本計算より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{b}b=1 }$

となる．ゆえに

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}b=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a}b \hspace{2}} }$

が求められた．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月26日