基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

$3$\displaystyle{ {4}^{t}- 3\cdot {2}^{t}- 4< 0 }$

$3$\displaystyle{t< 2}$

$3$\displaystyle{{4}^{t}={ $ {2}^{2} $ }^{t}={ $ {2}^{t} $ }^{2}}$ 　指数法則を参照

$3$\displaystyle{{2}^{t}=T}$

とおいて， $3$\displaystyle{T}$ の2次式と考えて不等式を解く

与式の左辺を変形すると

$3$\displaystyle{{ $ {2}^{2} $ }^{t}- 3\cdot {2}^{t}- 4< 0}$

$3$\displaystyle{{ $ {2}^{t} $ }^{2}- 3\cdot {2}^{t}- 4< 0}$

となる．

ここで， $3$\displaystyle{{2}^{t}=T}$ とおく．

ただし， $3$\displaystyle{T> 0}$ ･･････（１）

よって

$3$\displaystyle{ {T}^{2}- 3T+4< 0 }$

$3$\displaystyle{ $ T- 4 $ $ T+1 $ < 0}$

$3$\displaystyle{- 1< T< 4}$ 　　　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{0< T< 4}$

ゆえに

$3$\displaystyle{0< {2}^{t}< {2}^{2}}$

底は2 $3$\displaystyle{ $ > 1 $ }$ より(このページを参照)

求める $3$\displaystyle{t}$ の範囲は

$3$\displaystyle{t< 2}$

となる．

$3$\displaystyle{ f $t$ ={4}^{t}- 3\cdot {2}^{t}- 4 }$

とおくと，下の図のようなグラフになる．

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日