基本的な指数不等式の問題

■問題

$3$\displaystyle{{3}^{ x+1 }< {2}^{ 2x- 1 }}$

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2} 1+\hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2- \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$

両辺が同じ底の形になるように，両辺に底が $3$\displaystyle{2}$ の対数を取る．ここで，底 $3$\displaystyle{2}$ は $3$\displaystyle{1}$ より大きいので対数を取っても不等号の向きは変わらないことに注意する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}{3}^{ x+1 }< \hspace{1}{\log }_{2}{2}^{ 2x- 1 }}$

$3$\displaystyle{ $ x+1 $ \hspace{1}{\log }_{2}3< 2x- 1}$

$3$\displaystyle{x\hspace{1}{\log }_{2}3+\hspace{1}{\log }_{2}3< 2x- 1}$

$3$\displaystyle{x\hspace{1}{\log }_{2}3- 2x< - 1- \hspace{1}{\log }_{2}3}$

あとは， $3$\displaystyle{x}$ について不等式を解けばよい．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}{3}^{ x+1 }< \hspace{1}{\log }_{2}{2}^{ 2x- 1 }}$

対数の性質より，両辺の真数の指数部分を対数の係数として前に出すと

$3$\displaystyle{ $ x+1 $ \hspace{1}{\log }_{2}3< 2x- 1}$

左辺を展開して， $3$\displaystyle{x}$ の項を左辺に移項すると

$3$\displaystyle{x\hspace{1}{\log }_{2}3- 2x< - 1- \hspace{1}{\log }_{2}3}$

左辺を $3$\displaystyle{x}$ についてまとめると

$3$\displaystyle{x $ \hspace{1}{ \log }_{2}3- 2 $ < - $ 1+\hspace{1}{ \log }_{2}3 $ }$

不等号の向きが変わることに注意して両辺を $3$\displaystyle{- 1}$ 倍する．

$3$\displaystyle{- x $ \hspace{1}{ \log }_{2}3- 2 $ > $ 1+\hspace{1}{ \log }_{2}3 $ }$

左辺おいて $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}3- 2< 0}$ より，式変形すると

$3$\displaystyle{x $ 2- \hspace{1}{ \log }_{2}3 $ > $ 1+\hspace{1}{ \log }_{2}3 $ }$

となる．

$3$\displaystyle{2- \hspace{1}{\log }_{2}3> 0}$ であるので，両辺をその数で割ると

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2} 1+\hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2- \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$

が成り立つ．

よって，求める $3$\displaystyle{x}$ の範囲は

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2} 1+\hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2- \hspace{1}{ \log }_{2}3 \hspace{2}}}$

となる．

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年10月3日