因数分解

■問題

次の式を因数分解しなさい．

$3$\displaystyle{2{x}^{3}- 3{x}^{2}- 11x+6}$

■答

$3$\displaystyle{2{x}^{3}- 3{x}^{2}- 11x+6}$ $3$\displaystyle{= $ x+2 $ $ 2x- 1 $ $ x- 3 $ }$

■ヒント

因数定理を利用する．

■答

$3$\displaystyle{f $x$ =2{x}^{3}- 3{x}^{2}- 11x+6}$ とおく．

定数項が $3$6$ より， $3$\displaystyle{f\left({x}\right)=0}$ となる $3$x$ の整数の候補は， $3$ 1$ ， $3$ - 1$ ， $3$ 2$ ， $3$ - 2$ ， $3$ 3$ ， $3$ - 3$ ， $3$ 6$ ， $3$ - 6$ である．絶対値の小さいものから順に， $3$f\left({x}\right)=0$ となるまで，調べる．

$3$\displaystyle{f\left({1}\right)=2\cdot {1}^{3}- 3\cdot {1}^{2}- 11\cdot 1+6}$

$3$\displaystyle{=2- 3- 11+6}$

$3$\displaystyle{=- 6}$

$3$\displaystyle{f\left({ - 1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=2\cdot {\left({ - 1 }\right)}^{3}- 3\cdot {\left({ - 1 }\right)}^{2}- 11\cdot \left({ - 1 }\right)+6}$

$3$\displaystyle{=- 2- 3+11+6}$

$3$\displaystyle{=12}$

$3$\displaystyle{f\left({2}\right)}$ $3$\displaystyle{=2\cdot {2}^{3}- 3\cdot {2}^{2}- 11\cdot 2+6}$

$3$=16- 12+22+6$

$3$\displaystyle{=32}$

$3$\displaystyle{f $ - 2 $ }$ $3$\displaystyle{=2{ $ - 2 $ }^{3}- 3{ $ - 2 $ }^{2}- 11\cdot $ - 2 $ +6}$

$3$\displaystyle{=- 16- 12+22+6}$

$3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{f $ - 2 $ =0}$ となるので， $3$\displaystyle{f $x$ }$ は $3$\displaystyle{ x+2 }$ を因数に持つ．

与式を $3$\displaystyle{ x+2 }$ で割る.

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} & \text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }2{x}^{2}- 7x+3 & \vspace{6}\\ x+2 & \bar{ \)2{x}^{3}- 3{x}^{2}- 11x+6 } & \vspace{6}\\ &\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}} 2{x}^{3}+4{x}^{2} & \vspace{6}\\ & \bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }- 7{x}^{2}- 11x\text{\hspace{5}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} } }\text{\hspace{1} } & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{5}}\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }- \text{\hspace{1} }7{x}^{2}- 14x & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{5}}\bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }3x+6\text{\hspace{2}} } & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{1} }\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{2}}\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{1} }3x+6\text{\hspace{2}} & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}\hspace{2}}0\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} } } & \vspace{6}\\ \end{array}}$ 　筆算による整式の割り算を参照

よって

$3$\displaystyle{f $x$ = $ x+2 $ $ 2{x}^{2}- 7x+3 $ }$

$3$\displaystyle{ 2{x}^{2}- 7x+3 }$ はたすきがけ手法による因数分解をする．

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}2& \hspace{1}{ }_{↘}\text{ }\hspace{1}{}_{}^{} ↗_{↗}^{} & \vspace{6}\\ - 1 &\rightarrow & \text{\hspace{1}}- 1 & \end{array}1& { }^{↗}\text{ }\hspace{1}{}_{}^{} _{}^{}↘ & \vspace{6}\\ - 3 &\rightarrow & \text{\hspace{1}}- 6 &} & & & & \text{\hspace{1}}- 7 & \vspace{6}\\$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{= $ x+2 $ $ 2x- 1 $ $ x- 3 $ }$

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最終更新日： 2024年9月19日