因数分解

■問題

次の式を因数分解しなさい．

$3$\displaystyle{3{x}^{2}+10x+3}$

■答

$3$\displaystyle{ $ x+3 $ $ 3x+1 $ }$

■ヒント

たすきがけ手法を利用する．

■解き方

因数分解の基本公式より

$3$\displaystyle{ac{x}^{2}+ $ ad+bc $ x+bd=3{x}^{2}+10x+3}$

すなわち

$3$\displaystyle{ac=3}$ ， $3$\displaystyle{ad+bc=10}$ ， $3$\displaystyle{bd=3}$

であり，これを満たす $3$\displaystyle{a}$ ， $3$\displaystyle{b}$ ， $3$\displaystyle{c}$ ， $3$\displaystyle{d}$ を求める．

$3$\displaystyle{ac=3}$ を満たす整数 $3$\displaystyle{a}$ ， $3$\displaystyle{c}$ は

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} a=1 & \vspace{6}\\ c=3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ $3$\displaystyle{ \{ \begin{array} a=3 & \vspace{6}\\ c=1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ $3$\displaystyle{ \{ \begin{array} a=- 1 & \vspace{6}\\ c=- 3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ $3$\displaystyle{ \{ \begin{array} a=- 3 & \vspace{6}\\ c=- 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{bd=3}$ を満たす整数 $3$\displaystyle{b}$ ， $3$\displaystyle{d}$ は

これをたすきがけ手法を用いて， $3$\displaystyle{ad+bc=10}$ を満たすものを見つける．

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} a=1 & \vspace{6}\\ c=3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ \{ \begin{array} b=1 & \vspace{6}\\ d=3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ のとき

となるので，失敗である．

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} a=1 & \vspace{6}\\ c=3 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ \{ \begin{array} b=3 & \vspace{6}\\ d=1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ のとき

となるので，成功である．

よって， $3$\displaystyle{ \{ \begin{array} a=1 & b=3 & \vspace{6}\\ c=3 & d=1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ とすればよい．

したがって， $3$\displaystyle{ $ ax+b $ $ cx+d $ }$ に代入すると

$3$\displaystyle{3{x}^{2}+10x+3= $ x+3 $ $ 3x+1 $ }$

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最終更新日： 2023年7月20日