因数分解

■問題

$3$\displaystyle{ {x}^{3}+11{x}^{2}+32x+28 }$

■答

$3$\displaystyle{ { $ x+2 $ }^{2} $ x+7 $ }$

■方針

因数定理を利用する

■解き方

係数がすべて正であるので， $3$x$ に正の値を入れても与式は0になることはない．よって，負の値を代入する．

$3$\displaystyle{x=- 1}$ のとき

$3$\displaystyle{={\left({ - 1 }\right)}^{3}+11\cdot {\left({ - 1 }\right)}^{2}+32\cdot \left({ - 1 }\right)+28}$

$3$\displaystyle{=- 1+11- 32+28}$

$3$\displaystyle{=6}$

よって，与式は $3$\displaystyle{x+1}$ を因数に持たない．

$3$\displaystyle{x=- 2}$ のとき

$3$\displaystyle{ { $ - 2 $ }^{3}+11\cdot { $ - 2 $ }^{2}+32\cdot $ - 2 $ +28 }$

$3$\displaystyle{=- 8+44- 64+28}$

$3$\displaystyle{=0}$

よって，与式は $3$\displaystyle{x+2}$ を因数に持つので

$3$\displaystyle{ $ x+2 $ \text{\times }A={x}^{3}+11{x}^{2}+32x+28 }$

となる式 $3$\displaystyle{A}$ が存在する。

よって $3$\displaystyle{A}$ は

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} &\text{ } {x}^{2}+9x+14 & \vspace{6}\\ x+2 & \bar{ \){x}^{3}+11{x}^{2}+32x+28 } & \vspace{6}\\ &\text{ } {x}^{3}+2{x}^{2} & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{1}}\bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}9{x}^{2}+32x } & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}9{x}^{2}+18x & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{5}}\bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}14x+28 } & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}14x+28 & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\bar{ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}0 } & \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
　筆算による整式の割り算を参照

よって

$3$\displaystyle{ A= $ {x}^{3}+ 11{x}^{2}+ 32x+ 28 $ ÷ $ x+ 2 $ }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 $3$\displaystyle{ ={x}^{2}+ 9x+ 14 }$

となる。

次に $3$\displaystyle{A}$ をたすきがけ手法による因数分解する．

掛け合わせて $3$\displaystyle{ {x}^{2} }$ の係数の $3$1$ となる組み合わせは $3$ \left({ 1,1 }\right)$ ， $3$\left({ - 1,- 1 }\right)$

掛け合わせて $3$14$ となる組合わせは $3$ \left({ ２,7 }\right)$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 ， $3$ \left({ 1,14 }\right)$ ， $3$\displaystyle{\left({ - 2,- 7 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ - 1,- 14 }\right)}$ であるので

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}1& \hspace{1}{ }_{↘}\text{ }\hspace{1}{}_{}^{} ↗_{↗}^{} & \vspace{6}\\ 2 &\rightarrow & \text{\hspace{1}}2 & \end{array}1& { }^{↗}\text{ }\hspace{1}{}_{}^{} _{}^{}↘ & \vspace{6}\\ 7 &\rightarrow & \text{\hspace{1}}7 &} & & & & \text{\hspace{1}}9 & \vspace{6}\\$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

となる．よって

$3$\displaystyle{ A= $ x+2 $ $ x+7 $ }$

となる．

以上より

$3$\displaystyle{ {x}^{3}+11{x}^{2}+32x+28={ $ x+2 $ }^{2} $ x+7 $ }$

となる。

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最終更新日： 2024年9月19日