重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2}- {y}^{2} }dxdy }}$ 　　 $3$\displaystyle{ $D:{x}^{2}+{y}^{2}\leq ax$ }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}{a}^{3} }$

■ヒント

領域 $3$\displaystyle{D}$ の範囲は円になっているので極座標に変数変換する．

■解き方

領域 $3$\displaystyle{D}$

領域 $3$\displaystyle{D}$ の範囲を確認する．

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}\leq ax}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- ax+{y}^{2}\leq 0}$

$3$\displaystyle{{\left({ x- \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}+{y}^{2}\leq {\left({ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}}$

よって，領域 $3$\displaystyle{D}$ は中心が $3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},0 }\right)}$ ，半径が $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ の内部になる．

極座標変換 $3$\displaystyle{x=r\cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}}$ を行うと， $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)}$ の領域 $3$\displaystyle{D}$ は図のような $3$\displaystyle{\left({ r,{\theta} }\right)}$ の領域 $3$\displaystyle{{D}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{{D}^{\prime }:0\leq r\leq a\cos {\theta},- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

に移る．

領域 $3$\displaystyle{{D}^{\prime }}$

(与式) $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{{D}^{\prime }} \sqrt{ {a}^{2}- {r}^{2} } }\cdot rdrd{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \left({ \displaystyle{ \int _{0}^{ a\cos {\theta} } \sqrt{ {a}^{2}- {r}^{2} }\cdot rdr } }\right)d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{ a\cos {\theta} } \sqrt{ {a}^{2}- {r}^{2} }\cdot rdr } }$ について

$3$\displaystyle{t=\sqrt{ {a}^{2}- {r}^{2} }}$ とおく置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dr \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}r\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {r}^{2} } \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dr \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}r\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{rdt=- tdt}$

$3$\displaystyle{r:0\rightarrow a\cos {\theta}}$ のとき $3$\displaystyle{t:a\rightarrow a\sin {\theta}}$

よって

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ a\cos {\theta} } \sqrt{ {a}^{2}- {r}^{2} }\cdot rdr }}$ $3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int _{a}^{ a\sin {\theta} } {t}^{2}dt }}$

$3$\displaystyle{=- \left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{3} }\right]_{a}^{ a\sin {\theta} }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}^{3}{\sin }^{3}{\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}^{3}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}^{3}\left({ 1- { \sin }^{3}{\theta} }\right)}$

したがって

(与式) $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}^{3}\left({ 1- { \sin }^{3}{\theta} }\right)d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}^{3}\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } d{\theta} }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}^{3}\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sin }^{3}{\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{3}{\theta} }$ は奇関数より， $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sin }^{3}{\theta}d{\theta} }=0}$ 　（ここを参照）．よって

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{a}^{3}\left[{{\theta}}\right]_{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- 0}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}{a}^{3}}$

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最終更新日： 2023年8月22日