証明

証明

2階定数係数同次微分方程式

y +a y +by=0

の一般解は,特性方程式 t 2 +at+b=0 の解によって以下のようになる.

(2)実数解  α (重解)の場合

y=( c 1 + c 2 x ) e αx

■証明

特性方程式が重解 α をもつ場合,特性方程式  f( t )

f( t )= ( tα ) 2

と表わせる.よって,微分演算子を用いると,2階定数係数同次微分方程式は

f( D )y=0

( Dα ) 2 y=0

となる. e αx e αx =1 を使って書き換えると次のようになる.

( Dα ) 2 [ e αx e αx y ]=0

ここで,微分演算子の基本公式

f( D )[ e αx y ]= e αx f( D+α )y   ⇒詳細

を利用すると,

( Dα ) 2 [ e αx e αx y ] = e αx { ( D+α )α } 2 [ e αx y ] = e αx D 2 [ e αx y ] =0

よって,

D 2 [ e αx y ]=0

ここで e αx y=z とおくと

D 2 z=0

つまり,

d 2 z d x 2 =0

これを積分すると

dz dx = c 2

となり,もう一度積分すると

z= c 1 + c 2 x

となる(ただし c 1 c 2 は任意定数).よって

e αx y= c 1 + c 2 x

両辺に e αx かけると

y=( c 1 + c 2 x ) e αx

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 最終更新日: 2023年6月12日