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行列式の次数下げ その1

a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 c 11 c 1n b 11 b 1m c m1 c mn b m1 b mm = | a 11 a 1n a n1 a nn |·| b 11 b 1m b m1 b mm |  ・・・・・・(1)

の関係が成り立つ.

■導出

  • A=| a 11 a 1n a n1 a nn |
    n 次の正方行列
  • B=| b 11 b 1m b m1 b mm |
    m 次の正方行列
  • C=| c 11 c 1n c m1 c mn |
    m,n 型行列

とおくと(1)は

| A O C B |= | A || B |  ・・・・・・(2)

n=1 の時,(1)の左辺は

a 11 0 0 c 11 b 11 b 1m c m1 b m1 b mm  ・・・・・・(3)

となる.

(3)を1行で展開すると

= a 11 × ( 1 ) 1+1 | b 11 b 1m b m1 b mm | = a 11 | b 11 b 1m b m1 b mm |  ・・・・・・(4)

となり(1)が成り立つ.

n=k1 の時,(1)が成り立つと仮定する.

すなわち

a 11 a 1k1 0 0 a k11 a k1k1 0 0 c 11 c 1k1 b 11 b 1m c m1 c mk1 b m1 b mm = | a 11 a 1k1 a k1k1 a k1k |·| b 11 b 1m b m1 b mm |

= | A || B |  ・・・・・・(5)

(ただし, A k1 次の行列 )

(5)が成り立つと仮定する.

n=k の時(1)の左辺は

a 11 a 1k 0 0 a k1 a kk 0 0 c 11 c 1k b 11 b 1m c m1 c mk b m1 b mm  ・・・・・・(6)

となる.(6)を1行で展開すると

= a 11 × 1 1+1 a 22 a 2n 0 0 a n2 a kk 0 0 c 12 c 1k b 11 b 1m c m2 c mk b m1 b mm + a 12 × 1 1+2 a 21 a 23 a 2k 0 0 a k1 a n3 a kk 0 0 c 11 c 13 c 1k b 11 b 1m c m1 c m3 c mk b m1 b mm ++ a 1k × 1 1+k a 21 a 2k1 0 0 0 a k1 a kk1 0 0 c 11 c 1k1 b 11 b 1m c m1 c mk1 b m1 b mm  ・・・・・・(7)

となる. A の1行と i   列を除いた行列を A 1i C   i  列を除いた行列を C i と表わすことにすると,(7)は

= a 11 × 1 1+1 A 11 O C 1 B + a 12 × 1 1+2 A 12 O C 2 B + + a 1k × 1 1+k A 1k O C k B

= i=1 k a 1i × 1 1+i A 1i O C i B  ・・・・・・(8)

となる.

(8)に含まれる A 1i O C i B は(5)より

A 1i O C i B = A 1i · B  ・・・・・・(9)

となる.(9)を(8)に代入すると

= i=1 k a 1i × 1 1+i × A 1i · B  ・・・・・・(10)

となる.

| A | を1行で展開すると

| A | = i=1 k a 1i × a ˜ 1i = i=1 k a 1i × ( 1 ) 1+i | A 1i |  ・・・・・・(11)

となる.(11)を(10)に代入すると

= | A |·| B |  ・・・・・・(12)

よって

a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn 0 0 c 11 c 1n b 11 b 1m c m1 c mn b m1 b mm = | a 11 a 1k a k1 a kk |·| b 11 b 1m b m1 b mm |

が導かれ, n=k1 の時(1)が成り立つと仮定すると n=k の時も(1)式が成り立つ.

以上より,数学的帰納法より,すべての n で(1)は成り立つ.

 

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最終更新日: 2023年2月11日

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