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行列式の次数下げ その2

| 0 0 a 11 a 1n 0 0 a n1 a nn b 11 b 1m c 11 c 1n b m1 b mm c m1 c mn | = ( 1 ) mn | a 11 a 1n a n1 a nn |·| b 11 b 1m b m1 b mm |  ・・・・・・(1)

の関係が成り立つ.

■導出

  • A=| a 11 a 1n a n1 a nn |
    n 次の正方行列
  • B=| b 11 b 1m b m1 b mm |
    m 次の正方行列
  • C=| c 11 c 1n c m1 c mn |
    m,n 型行列

とおくと(1)は

| O A B C |= ( 1 ) mn | A || B |  ・・・・・・(2)

n=1 の時,(1)の左辺は

| 0 0 a 11 b 11 b 1m c 11 b m1 b mm c m1 |  ・・・・・・(3)

となる.

(3)を1行で展開すると

= a 11 × ( 1 ) 1+m+1 | b 11 b 1m b m1 b mm | = ( 1 ) m×1 a 11 | b 11 b 1m b m1 b mm |  ・・・・・・(4)

(∵ ( 1 ) 1+m+1 = ( 1 ) m+2 = ( 1 ) m · ( 1 ) 2 = ( 1 ) m = ( 1 ) m×1 )

となり(1)が成り立つ.

n=k1 の時,(1)が成り立つと仮定する.

すなわち

| 0 0 a 11 a 1k1 0 0 a k11 a k1k1 b 11 b 1m c 11 c 1k1 b m1 b mm c m1 c mk1 | = ( 1 ) m( k1 ) | a 11 a 1k1 a k1k1 a k1k |·| b 11 b 1m b m1 b mm |

= ( 1 ) m( k1 ) | A || B |  ・・・・・・(5)

(ただし, A k1 次の行列 )

(5)が成り立つと仮定する.

n=k の時(1)の左辺は

0 0 a 11 a 1k 0 0 a k1 a kk b 11 b 1m c 11 c 1k b m1 b mm c m1 c mk  ・・・・・・(6)

となる.(6)を1行で展開すると

= a 11 × ( 1 ) 1+m+1 | 0 0 a 22 a 2n 0 0 a n2 a kk b 11 b 1m c 12 c 1k b m1 b mm c m2 c mk | + a 12 × ( 1 ) 1+m+2 | 0 0 a 21 a 23 a 2k 0 0 a k1 a n3 a kk b 11 b 1m c 11 c 13 c 1k b m1 b mm c m1 c m3 c mk | ++ a 1k × ( 1 ) 1+m+k | 0 0 a 21 a 2k1 0 0 a k1 a kk1 b 11 b 1m c 11 c 1k1 b m1 b mm c m1 c mk1 |  ・・・・・・(7)

となる. A の1行と i   列を除いた行列を A 1i C   i  列を除いた行列を C i と表わすことにすると,(7)は

= a 11 × ( 1 ) 1+m+1 | O A 11 B C 1 | + a 12 × ( 1 ) 1+m+2 | O A 12 B C 2 |+ + a 1k × ( 1 ) 1+m+k | O A 1k B C k |

= i=1 k a 1i × ( 1 ) 1+m+i | O A 1i B C i |  ・・・・・・(8)

となる.

(8)に含まれる | O A 1i B C i |

は(5)より

| O A 1i B C i |= ( 1 ) m( k1 ) | A 1i |·| B |  ・・・・・・(9)

となる.(9)を(8)に代入すると

= i=1 k a 1i × ( 1 ) 1+m+i × ( 1 ) m( k1 ) | A 1i |·| B |  ・・・・・・(10)

となる.

| A | を1行で展開すると

| A | = i=1 k a 1i × a ˜ 1i = i=1 k a 1i × ( 1 ) 1+i | A 1i |  ・・・・・・(11)

となる.(11)を(10)に代入すると

= ( 1 ) m × ( 1 ) m( k1 ) | A |·| B | = ( 1 ) mk | A |·| B |  ・・・・・・(12)

よって

| 0 0 a 22 a 2n 0 0 a n2 a kk b 11 b 1m c 12 c 1k b m1 b mm c m2 c mk | = ( 1 ) mk | a 11 a 1k a k1 a kk |·| b 11 b 1m b m1 b mm |

が導かれ, n=k1 の時(1)が成り立つと仮定すると n=k の時も(1)式が成り立つ.

以上より,数学的帰納法より,すべての n で(1)は成り立つ.

 

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最終更新日: 2023年2月11日

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