共分散(covariance)

共分散 σ xy とは,二つの変量 xy の相関の程度を表したものであり,二つの変量がそれぞれ n 個あるとき

σ xy = 1 n i=1 n x i x ¯ y i y ¯  ・・・・・・(1)

と定義されている.なお,計算する際は上(1)を用いると計算が煩雑になることが多いため,(1)を以下のように変形して用いるとよい.

σ xy = 1 n i=1 n x i x ¯ y i y ¯

= 1 n i=1 n x i y i x ¯ y i y ¯ x i + x ¯ y ¯

= 1 n i=1 n x i y i 1 n x ¯ i=1 n y i 1 n y ¯ i=1 n x i + 1 n x ¯ y ¯ i=1 n 1

= 1 n i=1 n x i y i x ¯ y ¯ y ¯ x ¯ + 1 n x ¯ y ¯ n

∵  1 n i=1 n y= y ¯ i 1 n i=1 n x i = x ¯

= 1 n i=1 n x i y i x ¯ y ¯

共分散Covariance(共分散)の頭文字を用いて C X,Y と表現することもある,この共分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いた E という表現を用いると,共分散 C X,Y

σ xy =C X,Y

=E XE X YE Y

=E XYE X YE X X+E X E Y

=E XY E E X Y E E X X +E E X E Y

=E XY E X E Y E X E Y +E X E Y

=E XY E X E Y

となる. 

 

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 最終更新日: 2024年2月22日

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