分散

■定義

分散とは,あるデータの集団におけるバラツキ具合を数値化したものであり, n 個のデータの値が x 1 x 2 x n  とあるとき,次式で定義される.(和記号Σ参照)

σ 2 = 1 n i=1 n ( x i x ¯ ) 2 ・・・・・・(1)

また,(1)式の平方根である

σ= 1 n i=1 n ( x i x ¯ ) 2

標準偏差という.

また,(1)式は計算が煩雑になることもあるため,多くの場合以下のように変形して用いる.

σ 2 = 1 n i=1 n ( x i x ¯ ) 2

= 1 n i=1 n ( x i 2 2 x ¯ x i + x ¯ 2 )

= 1 n i=1 n x i 2 2 x ¯ 1 n i=1 n x i + x ¯ 2 1 n i=1 n

= 1 n i=1 n x i 2 2 x ¯ 2 + x ¯ 2    ( 1 n i=1 n x i = x ¯ )

= 1 n i=1 n x i 2 x ¯ 2

分散はVariance(分散)の頭文字を用いて V X で表現し,この分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いた E という表現を用いると,分散は

σ 2 = V X =E XE X 2 =E X 2 E X 2

と表現できる.

確率関数 f x を用いると

  • 離散型確率変数の場合: V X = i=1 n x i x ¯ 2 f x i
  • 連続型確率変数の場合: V X = x x ¯ 2 f x dx

 

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最終更新日: 2024年1月23日

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