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離散型確率分布

離散型確率変数 X について

f( x i )=P( X= x i )     ( i=1,2,,n )

により定まる関数 f( x ) を確率変数 X 確率関数(あるいは確率分布)という

■定理

x 1 ,, x n の値をとる離散型確率変数 X の確率関数を f( x ) とするとき,以下の式が成り立つ.

  • f( x i )0    ( i=1,2,,n )

    確率は0以上の値になるので,上式が成り立つ.

  • i=1 n f( x i )=1

    各確率変数Xに対する確率の総和は 1 になる.

  • P( aXb )= a x i b f( x i )

■事例

●事例1

サイコロを振った時の各目のでる確率を以下に示す.確率変数Xはサイコロの目の数とする.

f 1 =P X=1 = 1 6 f 2 =P X=2 = 1 6 f 3 =P X=3 = 1 6 f 4 =P X=4 = 1 6 f 5 =P X=5 = 1 6 f 6 =P X=6 = 1 6

i=1 n f i =f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 +f 6

= 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 =1

P 1X3 = 1i3 f i = f 1 +f 2 +f 3 = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2

●事例2

2つのサイコロを振った時の出た目の和を確率変数Xとする.

確率変数X

X = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12

となる.各確率変数Xの値の場合の数(サイコロのでた目の組)を書き出すと

X=2 のとき: 1,1

X=3 のとき: 1,2 2,1

X=4 のとき: 1,3 2,2 3,1

X=5 のとき: 1,4 2,3 3,2 4,1

X=6 のとき: 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1

X=7 のとき: 1,6 2,5 3,4 4,3 5,2 6,1

X=8 のとき: 2,6 3,5 4,4 5,3 6,2

X=9 のとき: 3,6 4,5 5,4 6,3

X=10 のとき: 4,6 5,5 6,4

X=11 のとき: 5,6 6,5

X=12 のとき: 6,6

となる.よって,各確率変数Xの値の確率は

f 2 =PX=2= 136f 3 =PX=3= 118f 4 =PX=4= 112f 5 =PX=5= 19f 6 =PX=6= 536f 7 =PX=7= 16f 8 =PX=8= 536f 9 =PX=9= 19f 10 =PX=10= 112f 11 =PX=11= 118f 12 =PX=12= 136

となる.確率関数のグラフは以下の図のようになる.

 

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最終更新日: 2024年4月9日

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