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三角錐の体積

三角錐の体積=底面積×高さ×

■証明

三角柱を3つの三角錐に分解することで証明する.

(T)三角錐 と三角錐 について

三角柱 の側面□ は平行四辺形である.

よって

 ・・・・・・(1)

 ・・・・・・(2)

となる.

次に, について考える.

(1),(2)とが共通であることより

  三角形の合同条件) 

が成り立ち

の面積= の面積 ・・・・・(3)

となる.

を底面とする四角錐で三角錐と三角錐 に2分割される.(3)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 の体積=三角錐 の体積 ・・・・・・(4)

が成り立つ.

(U)三角錐 と三角錐 について

 

三角柱 の側面□ は平行四辺形である.

よって

  ・・・・・・(5)

  ・・・・・・(6)

となる.

次に, について考える.

(5),(6)と が共通であることより

  三角形の合同条件) 

が成り立ち

の面積= の面積 ・・・・・(7)

となる.

を底面とする四角錐 で三角錐 と三角錐 に2分割される.(6)より底面が面積の等しい三角形に分割されているので

三角錐 の体積=三角錐 の体積 ・・・・・・(8)

が成り立つ.

(4),(8)より

三角錐の体積=三角錐 の体積(三角錐の体積)=三角錐 の体積 ・・・・・・(9)

となり3つの三角錐の体積は等しい.

よって,

を底面とする三角錐(三角錐)の体積=×三角錐 の体積 ・・・・・・(10)

となる.

また

を底面とする三角錐 (三角錐 )の高さは,三角柱 の高さと等しい ・・・・・・(11)

(10),(11)より三角錐の体積は,

三角錐の体積=底面積×高さ×

となる.

 

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最終更新日: 2013年10月8日

 

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