等差数列の和の公式導出
■公式の導出
等差数列
{
a
n
}
の初項を
a
1
,公差を
d
とすると,
a
2
=
a
1
+d
a
3
=
a
2
+d
=
a
1
+2d
a
4
=
a
3
+d
=
a
1
+
3
d
a
5
=
a
4
+d
=
a
1
+4d , ⋅⋅⋅
よって,第 n 項は,
a
n
=
a
n−1
+d
=
a
1
+(
n−1
)d
また,第 n 項までの和は,
S
n
=
a
1
+(
a
1
+d
)+(
a
1
+2d
)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(
a
n
−d
)+
a
n
和の順序を逆にして辺々を加えると,
S
n
=
a
1
+(
a
1
+d
)+(
a
1
+2d
)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(
a
n
−d
)+
a
n
+ )
S
n
=
a
n
+(
a
n
−d
)+(
a
n
−2d
)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(
a
1
+d
)+
a
1
2
S
n
=(
a
1
+
a
n
)+(
a
1
+
a
n
)+(
a
1
+
a
n
)+⋅⋅⋅+(
a
1
+
a
n
)+(
a
1
+
a
n
)
¯
2
S
n
=n(
a
1
+
a
n
)
S
n
=
n(
a
1
+
a
n
)
2
また,
a
n
=
a
1
+(
n−1
)d
を代入すると,
S
n
=
n{
a
1
+
a
1
+(
n−1
)d
}
2
=
n{
2
a
1
+(
n−1
)d
}
2
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最終更新日:
2018年3月14日
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