微分の問題
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微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ.

y= cos 4 ( 3x2 )

■答

y = 12 cos 3 ( 3x2 )sin( 3x2 )

■ヒント

合成関数の導関数

{ f( g( x ) ) } = f ( g( x ) )· g ( x )

の式を用いる.

■解説

y= cos 4 ( 3x2 )

y =4 cos 3 ( 3x2 ) ( cos3x2 )

=4 cos 3 ( 3x2 ){ sin( 3x2 ) } ( 3x2 )

=4 cos 3 ( 3x2 ){ sin( 3x2 ) }3

=12co s 3 ( 3x2 )sin( 3x2 )

●別解

y= cos 4 ( 3x2 )

y= u 4 u=cos( 3x2 )  

とおく.

dy du =4 u 3  

du dx の計算は再び合成関数の微分をする.

u=cos( 3x2 )

u=cos s  

s=3x2  

とおく.

du d s =sin s

d s dx =3  

よって

du d x = du d s d s dx =( sin s )3 =3sin( 3x2 )  

したがって

dy dx = dy du du dx

=4 u 3 { 3sin( 3x2 ) }  

=12 { cos( 3x2 ) } 3 sin( 3x2 )  

=12 cos 3 ( 3x2 )sin( 3x2 )  

■備考

上の計算より

dy dx = dy du du dx

du dx = du dS dS dx  

である.よって 

dy dx = dy du du dS dS dx  

となる.この式を用いると

y= cos 4 ( 3x2 )  

y= u 4  

u=cos s  

s=3x2  

とおく.

dy du =4 u 3  

du d s =sin s  

d s dx =3  

よって

dy du =( 4 u 3 )( sin s )3

=4 { cos( 3x2 ) } 3 { sin( 3x2 ) }3  

=12 cos 3 ( 3x2 )sin( 3x2 )  

となる.

 

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最終更新日: 2021年3月22日

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