微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ.

y=log| 12x 1+2x |

■答

y = 4 ( 1+2x )( 12x )

(あるいは  y = 2( 1 12x + 1 1+2x )

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く.

■解説

y =log| 12x 1+2x |  を

y=logu u = 12x 1+2x

と置き,合成関数の導関数の公式を用いる.

dy du = 1 u

du dx = 12x 1+2x 12x 1+2x 1+2x 2

= 2( 1+2x )2( 12x ) ( 1+2x ) 2

= 4 ( 1+2x ) 2

よって

dy dx = dy du · du dx

= 1 u 4 ( 1 + 2 x ) 2

= 1 12x 1+2x ( 4 ( 1+2x ) 2 )

= 4( 1+2x ) ( 1+2x ) 2 ( 12x )

= 4 ( 1+2x )( 12x )

●別解

対数の性質を使って式を変形してから微分する.

y=log| 12x 1+2x |

=log | 12x | | 1+2x |

=log| 12x |log| 1+2x |

対数のこの性質を用いる.

y = 1 12x 12x 1 1+2x 1+2x

= 1 12x ( 2 ) 1 1+2x 2

=2( 1 12x + 1 1+2x )

= 2 1 + 2 x + 1 2 x 1 2 x 1 + 2 x

= 2 2 1 2 x 1 + 2 x

= 4 1 2 x 1 + 2 x

 

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最終更新日: 2023年10月9日