微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ.

y=log e 3x 3 e 3x +1

■答

y = 12 e 3x ( e 3x 3 )( e 3x +1 )

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く.

■解説

y =log e 3x 3 e 3x +1  を

y=logu

u= e 3x 3 e 3x +1

と置き,合成関数の導関数の公式を用いる.

dy du = 1 u

= ( e 3x 3 ) ·( e 3x +1 )( e 3x 3 )· ( e 3x +1 ) ( e 3x +1 ) 2

= 3 e 3x ( e 3x +1 )3 e 3x ( e 3x 3 ) ( e 3x +1 ) 2

= 3 e 3x { ( e 3x +1 )( e 3x 3 ) } ( e 3x +1 ) 2

= 12 e 3x ( e 3x +1 ) 2

よって

dy dx = dy du · du dx

= 1 s · 12 e 3x ( e 3x +1 ) 2

= e 3x +1 e 3x 3 · 12 e 3x ( e 3x +1 ) 2

= 12 e 3x ( e 3x 3 )( e 3x +1 )

●別解

真数が正であることより

e 3x 3 e 3x +1 >0

である. e 3x +1>0 より

e 3x 3>0  

でなければならない.

よって

y=log e 3x 3 e 3x +1

=log( e 3x 3 )log( e 3x +1 )

と変形できる.これを x で微分する.

y = { log( e 3x 3 ) } { log( e 3x +1 ) }

= 1 e 3x 3 ( e 3x 3 ) 1 e 3x +1 ( e 3x +1 )

= 3 e 3x e 3x 3 3 e 3x e 3x +1

= 3 e 3x { ( e 3x +1 )( e 3x 3 ) } ( e 3x 3 )( e 3x +1 )

= 3 e 3x 4 ( e 3x 3 )( e 3x +1 )

= 12 e 3x ( e 3x 3 )( e 3x +1 )

 

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最終更新日: 2023年10月9日