微分の計算問題

■問題

f( x )= log 2 x とする. f ( 5 ) 微分係数の定義式を用いて求めよ.

微分係数の定義式 f ( x )= lim h0 f( a+h )f( a ) h

■答

f 5 = 1 5log2

■ヒント

e の定義を用いる.

■解説

f ( 5 ) = lim h 0 f ( 5 + h ) f ( 5 ) h = lim h 0 log 2 ( 5 + h ) log 2 5 h = lim h 0 1 h { log 2 ( 5 + h ) log 2 5 }

対数の性質を用いると

= lim h 0 1 h log 2 ( 1 + h 5 ) = lim h 0 1 5 · 5 h log 2 ( 1 + h 5 )

h 5 = t と置く. h 0 のとき t 0 よって

= lim t 0 1 5 · 1 t log 2 ( 1 + t )

e の定義を用いると

= lim t 0 1 5 log 2 ( 1 + t ) 1 t

t の変化が関係するところは,対数の真数部分だけである.よって

= 1 5 log 2 ( lim t 0 ( 1 + t ) 1 t ) = 1 5 log 2 e

底の変換公式を用いて底を2から e に変換すると

= 1 5 · log e log 2 = 1 5 · 1 log 2 = 1 5 log 2

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年10月9日