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# 基本的な関数の微分 $3\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

## ■問題

$3\displaystyle{ f\(x\)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

## ■答

$3\displaystyle{ {f}^{\prime }\(x\)=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} }$

## ■解説

$3\displaystyle{ \begin{array}{lll} f \(x\) & =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={x}^{ - 1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }$

と表すことができる．

### ●公式を用いた計算

$3\displaystyle{ \begin{array}{lll} {f}^{\prime } \(x\) & =- 1\cdot {x}^{ - 1- 1 } & \vspace{6}\\ & =- {x}^{ - 2 } & \vspace{6}\\ & =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる．

### ●導関数の定義を用いた計算

$3\displaystyle{ \begin{array}{lll} {f}^{\prime }\(x\) & ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f\(x+{\Delta}x\)- f\(x\) \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f \( \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+{\Delta}x \hspace{2}} \) - f \( \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+{\Delta}x \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} x- \(x+{\Delta}x\) \hspace{2}}{\hspace{2} \(x+{\Delta}x\)x \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} - {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} \(x+{\Delta}x\)x{\Delta}x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \(x+{\Delta}x\)x \hspace{2}} & \vspace{6}\\ & =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる．

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