フーリエ変換の問題

■問題

次の関数 $f (x)$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 $f (x)$ のフーリエ余弦変換 $F_{x} (ω)$ を，奇関数ならば関数 $f (x)$ のフーリエ正弦変換 $F_{s} (ω)$ を求めよ．

$f (x) = \{\begin{matrix} - e^{x} & (x < 0) \\ e^{- x} & (x ≧ 0) \end{matrix}$

$F_{s} (ω) = \frac{ω}{1 + ω^{2}} \sqrt{\frac{2}{π}}$

$f (x)$ は奇関数である．よって，フーリエ正弦変換 $F_{s} (ω)$ を求める．

$F_{s} (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \sin ω x d ω$

$= \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} \sin ω x d ω$

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} \sin ω x d ω = I$ とおく．

$I = \int_{0}^{\infty} {(- e^{- x})}^{'} \sin ω x d ω$

部分積分法を用いている

$= {[- e^{- x} \sin ω x]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (- e^{- x}) ω \cos ω x d ω$

$= 0 - ω \int_{0}^{\infty} {(e^{- x})}^{'} \cos ω x d ω$

$= - ω {{[e^{- x} \cos ω x]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} e^{- x} (- ω \sin ω x) d ω}$

$= - ω {- 1 + ω \int_{0}^{\infty} e^{- x} \sin ω x d ω}$

$I = - ω (- 1 + ω I)$

$I = ω - ω^{2} I$

$(1 + ω^{2}) I = ω$

$I = \frac{ω}{1 + ω^{2}}$

$F_{s} (ω) = \frac{ω}{1 + ω^{2}} \sqrt{\frac{2}{π}}$

最終更新日： 2023年7月6日