陰関数の接線の方程式

■問題

次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) の点 ( 1 2 , 1 2 ) における接線の方程式を求めよ.

x 3 + y 3 xy=0

■答

x+y =1

■ヒント

2変数関数 f x,y x で微分する.その結果から接線の傾き dy dx を求める.

■解説

f( x,y )=f( x,ϕ( x ) )= x 3 + y 3 xy

とおく. f( x,y ) x=x y=ϕ x とする合成関数と考えて,これを x で微分する.

d dx f( x,y ) = f x dx dx + f y dy dx = f x + f y dy dx =0

よって

f y dy dx = f x

dy dx = f x f y

ここで, dx dy は,この関数の任意の点での接線の傾きであるから,点 ( 1 2 , 1 2 ) での傾きを m とすると

m= f x ( a,b ) f y ( a,b )

となる.点 ( 1 2 , 1 2 ) における接線の方程式

y 1 2 =m( x 1 2 )

yb= f x ( 1 2 , 1 2 ) f y ( 1 2 , 1 2 ) ( xa )  ・・・・・・(1)

ここで f x , f y はそれぞれ

f x = x f( x,y )

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

= x ( x 3 + y 3 xy )

=3 x 2 y


f y = y f( x,y )

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

= y ( x 3 + y 3 xy )

=3 y 2 x

となり,点 ( 1 2 , 1 2 ) での値はそれぞれ

f x ( 1 2 , 1 2 ) =3 ( 1 2 ) 2 1 2 = 3 4 2 4 = 1 4  ・・・・・・(2)

f y ( 1 2 , 1 2 ) =3 ( 1 2 ) 2 1 2 = 3 4 2 4 = 1 4  ・・・・・・(3)

である.(2),(3)を(1)に代入する.

y 1 2 = 1 4 1 4 ( x 1 2 )

y =( 1 )·( x 1 2 )+ 1 2

y =x+ 1 2 + 1 2

x+y =1

 

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最終更新日: 2023年9月16日