2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ.

f( x,y )=cosx+cosy+cos( x+y )  0<x<π,0<y<π

■答

( 2 3 π, 2 3 π ) で極小値 3 2 をとる. 

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する.

与えられた関数を x,y でそれぞれ偏微分し,連立方程式

{ x f( x,y )=0 y f( x,y )=0

とし,その解 x , y = a , b を求める.

更に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求め

A= f xx ( a,b ), D= { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

を計算して極値を判定する.

■解説

与式を x で偏微分(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分)すると

x f( x,y ) = x ( cosx+cosy+cos( x+y ) ) =sinxsin( x+y )·1 =sinxsin( x+y )

次に f( x,y ) y で偏微分(偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分)すると

y f( x,y ) = y ( cosx+cosy+cos( x+y ) ) =sinysin( x+y )·1 =sinysin( x+y )

両者を連立させる.

{ sinxsin( x+y )=0( 1 ) sinysin( x+y )=0( 2 )

(1)から

sinxsin( x+y ) =0 sin( x+y ) =sinx

これを(2)に代入する.

siny( sinx ) =0 siny+sinx =0 siny =sinx

0<x<π 0<y<π より

y =x y=πx  (∵ sinθ=sin πθ  ここを参照)

y=x の時

この関係を(1)に代入して

sinxsin( x+x ) =0 sinx+sin2x =0 sinx+2sinxcosx =0 2倍角の公式を使用する), sinx( 1+2cosx ) =0

0<x<π より sinx0 ,よって

1+2cosx=0

この方程式を解く.

1+2cosx =0 2cosx =1 cosx = 1 2

0<x<π の条件から,これを満たす x

x= 2 3 π  ここを参照

y=x の関係から,極値をとる候補は ( 2 3 π, 2 3 π ) の1点となる.

y=πx の時

この関係を(1)に代入する.

sinxsin x+πx =0 sinxsinπ=0 sinx=0 sinx=0

sinx0 より, y=πx のとき解なし.


次に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求める.

f xx x,y = 2 x 2 f( x,y ) = x ( x f( x,y ) ) = x ( sinxsin( x+y ) )

=cosxcos( x+y )

f xy x,y = 2 yx f( x,y ) = y ( x f( x,y ) ) = y ( sinxsin( x+y ) ) =cos( x+y )

f yy x,y = 2 y 2 f( x,y ) = y ( y f( x,y ) ) = y ( sinysin( x+y ) )

=cosycos( x+y )

x,y = a,b における A D の値は

A = f xx ( a,b ) =cosacos( a+b )

D = { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

= { cos( a+b ) } 2 ( cosacos( a+b ) )·( cosbcos( a+b ) )

= { cos( a+b ) } 2 { cosa+cos( a+b ) }·{ cosb+cos( a+b ) }

これを元に各点における A,D を求める.

●点 ( 2 3 π, 2 3 π ) においては

A =cosxcos( x+y ) =cos 2 3 πcos( 2 3 π+ 2 3 π )

=cos 2 3 πcos 4 3 π =( 1 2 )( 1 2 ) = 1 2 + 1 2 =1

D = { cos( 2 3 π+ 2 3 π ) } 2

{ cos 2 3 π+cos( 2 3 π+ 2 3 π ) }·{ cos 2 3 π+cos( 2 3 π+ 2 3 π ) }

= ( cos 4 3 π ) 2 ( cos 2 3 π+cos 4 3 π )·( cos 2 3 π+cos 4 3 π )

= { ( 1 2 ) } 2 ( 1 2 1 2 )·( 1 2 1 2 )

= ( 1 2 ) 2 ( 1 )·( 1 ) = 1 4 1 = 3 4

以上より, A>0,D<0 から点 ( 2 3 π, 2 3 π ) で極小となる.

この点での値は

f( 1,1 ) =cos 2 3 π+cos 2 3 π+cos( 2 3 π+ 2 3 π )

=cos 2 3 π+cos 2 3 π+cos 4 3 π = 1 2 1 2 1 2 = 3 2

従って,この関数は点 ( 2 3 π, 2 3 π ) で極小値 3 2 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月22日