ラプラス変換に関する問題

ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて,一般解を求めなさい.

y +3y=0   (初期条件: y 0 =1 y 0 =3 )

■答

y= 3 sin 3 t+cos 3 t

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く.

■解き方

ラプラス変換すると

y L Y s

y L sY s y 0

y L s 2 Y s sy 0 y 0

となり,これらを式に代入

s 2 Y s sy 0 y 0 +3Y s =0

初期条件より

s 2 Y s s3+3Y s =0

( s 2 + 3 ) Y ( s ) s3 =0

Y s = s+3 s 2 +3

よって

Y s = s s 2 +3 + 3 s 2 +3

逆ラプラス変換をする ラプラス変換表はこちら

y= 3 sin 3 t+cos 3 t

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く.

特性方程式

λ 2 +3=0

より

λ=± 3

よって一般解は

y= C 1 sin 3 t+ C 2 cos 3 t   (ただし C 1 , C 2 は任意定数)

y = 3 C 1 cos 3 t 3 C 2 sin 3 t

初期条件より

y 0 = C 2  ・・・・・・(1)

y 0 = 3 C 1  ・・・・・・(2)

(1),(2)より

C 1 = 3 , C 2 =1

よって

y= 3 sin 3 t+cos 3 t

 

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最終更新日: 2023年6月6日