不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

1 x 2 4 dx    

■答

1 4 log| x2 x+2 |+C    C は積分定数)

■ヒント

部分分数に分解することにより積分できる形に式を変形する.

1 x 2 a 2 = 1 2a ( 1 xa 1 x+a )  ・・・・・・(1)

基本となる関数の積分 より

1 x dx=log| x |+C    C は積分定数) ・・・・・・(2)

の公式を用いる.

■解説

1 x 2 4 を部分分数に分解する.

2次式の因数分解の公式 5 番目の公式より, x 2 2 2 =( x+2 )( x2 ) と因数分解できるので,ヒントの(1)式より

1 x 2 4 = 1 4 ( 1 x2 1 x+2 )

よって

与式 = 1 4 ( 1 x2 1 x+2 )dx  

不定積分の基本式用いると

= 1 4 ( 1 x2 dx 1 x+2 dx )

ヒントの(2)式より

= 1 4 log | x 2 | log | x + 2 | + C   

= 1 4 log| x2 x+2 |+C   

log a R S = log a R log a S を参照)

【参考】部分分数分解の他の方法

1 x 2 4 = 1 ( x2 )( x+2 )

= a x2 + b x+2

とおき,両辺に ( x2 )( x+2 ) をかけてやると

1=( x+2 )a+( x2 )b   

このとき, x=2 の場合

1=( 2+2 )a    

a= 1 4    

また, x=2 の場合

1=( 22 )b  

b= 1 4  

したがって

1 x 2 2 2 = 1 4 x2 1 4 x+2   

= 1 4 ( 1 x2 1 x+2 )   

となる.

 

■確認問題

求まった答え  1 4 log| x2 x+2 |+C  を微分し,積分前の式   1 x 2 4  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日